音乐声学与心理声学(第3版) 196

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　　第4章乐器的声学模型181
　　棒的横振动模式频率与棒长的平方成反比：
　　fronserse x2|（414）
　　棒的纵振动模式频率与棒长成反比（见式（1.20）和式（1.21））：
　　fongtcaina c-|（415）
　　因此，棒长减小一半会使横振动模式频率提高4倍或2个倍频程，而使纵振动模式频率只提高2倍或1个倍频程。除了一端固定的棒的第二次模式外（其频率是基频的2.988倍，非常接近于3倍），横振动模式的频率随着模式次数的平方而变化。表4.1列出了置于支点的棒（式（4.12））和一端固定的棒（式（4.13））的前5个模式与第一次模式的频率比以及以平均律的半音数表示的音程（附录2给出了频率比与半音数的转换公式）。可见，没有一个高次模式与基频的音程为半音的整数倍，都不能很好地构成音乐的音阶。各次模式频率间隔比谐波频率间隔大得多，因为它们是按照奇数平方的比例增加的（如32，52，72，92...）。各次模式的相对强度部分地与棒的击打位置有关。
　　表4.1置于支点的棒和一端固定的棒前5个模式与第一次模式的频率比（式（4.12）和式（4.13））以及用半音数表示的音程（见附录2）格的横标动模式置于支点的棒
　　一端固定的棒
　　频率比半音数频率比半音数
　　1（相对第一次模式）1.000
　　0.00
　　1.0000.00
　　2（相对第一次模式）2.75817.56
　　6.26731.77
　　3（相对第一次模式）5.405
　　29.2117.53649.58
　　4（相对第一次模式）8.934
　　37.9134.37161.23
　　5（相对第一次模式）13.34644.8656.81769.93
　　Benade（1976）指出，实际测得的棒振动乐器的振动模式频率会与表4.1所示的理论值存在一些差异，这种现象是由"棒上的安装孔和为了调音将棒底部中央磨去一部分"引起的。
　　为了使声音具有明确的音调感，在一些棒振动乐器如木琴、马林巴琴和电颤琴（演奏音域分别为C5（523Hz）~C8（4186Hz）、A2（110Hz）~C7（2093Hz）和F3（175Hz）~F6（1397Hz））的制作中，通常将音棒的底部做成弧形，使振动模式的频率接近于第一次振动的谐波频率。在马林