电子音乐技术 248

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　　10.1对称性与傅里叶级数243
　　其中o=2x/N为波形的基频，并且
　　U=cos（o）+isin（ao）
　　是模为1辐角为o的复数。
　　为了分析第一种对称性，我们让信号X【n】延时半个周期。由于UN/2=-1，所以：
　　X【n+N/2】=A【0】-A1】U"+A2】U2n...
　　AN-2JV（W-2）n-A【N-1】V（W-1）a事实上，半个周期的延时对傅里叶级数每隔一项改变一次符号。我们用2种不同的方式把上式与原始的级数合并起来。令X'为两者和的一半：
　　X【n】=【a1+Xin+ N/21-A【0】+A2020...+A【N-2】/（w-2）m并令X"为两者差的一半：
　　X"【a】=0a】-x【a+N/21AJV"+A3JV3m.+....+AN-1Jw-m可以看出，x"仅包含偶次谐波（包括直流），而x"仅包含奇次谐波。
　　并且，如果x恰好等于其自身平移半个周期后的结果，即若X【n】=X【n+N/2】，则（观察x'和X"的定义）可以得到X'【n】=X【n】和X【n】=0。这意味着，在这种情况下X【n】仅包含偶次谐波。事实上，这应该并不让人惊奇，因为在这种情况下，X【n】必须每N/2个样点重复一次，所以其基频应该是周期为N的普通情况的2倍高。
　　用同样的方法，若X【n】=-X【n+N/2】，则X只有奇次谐波。这让我们可以简单地把任何所需波形分隔成它的奇次和偶次谐波。（这等价于用一个梳状滤波器提取偶次或奇次谐波，参见第7章。）
　　为了推导出第2种对称性关系，我们比较X【n】与其自身的时间翻转版本X【-n】（或者等价地，由于x每N个样点重复一次，因此也可以与X【N-n】比较）。此时傅里叶级数变为：
　　X【-n】=4【0】+A【1】（cos（on）-isin（aon））+...
　　A【N-1】（cos（（N-1）n）-isin（ao（N-1）n））
　　（因为余弦函数是偶函数，而正弦函数是奇函数）。采用与先前同样的方法，我们通过构造出两者和的一半X【】就可以提取出余弦：
　　X'【n）=x【al+X【-nlA【0】+A【1】cos（on）...+A【N-1】cos（o（N-1）n）
　　并令X【n】为两者差的一半再除以i：
　　【n1=X1】-X-nl=Allsin（on）+...+A【N-1lsin（o（N-1）n）
　　2
　　因此，如果X【n】满足X【-n】=x【n】，则傅里叶级数仅包含余弦项；若X【-n】=-X【n】，则傅里叶级数仅包含正弦项；并且与先前一样，我们可以把任何（每N个样点重复一遍的）