电子音乐技术 228

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　　222第9章傅里叶分析与重合成
　　实轴
　　虚轴
　　图9.6对具有2个正弦分量的信号进行汉宁加窗傅里叶变换，分量的频率分别为基频的5.3倍和10.6倍，且复幅度互不相同
　　为了把一个信号中的所有分音全部分解出来，我们应该让分析尺寸N足够大，使得o=2元/N不超过相邻分音之间间距的1/4。例如，对于一个周期信号，分音之间的间隔大小等于基频。为了在分析时分解出全部分音，分析的周期N必须至少为该信号周期的4倍。
　　在一些应用中，各谱峰之间相互交叠也是允许的，只要让每个谱峰的中心与其他谱峰隔离开即可；在这种情况中，4周期的规定可以被放宽到3个甚至更少数量的周期。
　　9.4音频信号的傅里叶分析和重建
　　傅里叶分析有时候可以用来分解出一个音频信号中的各个正弦分量。对于每个k，傅里叶变换中的第k个点将仅受位于名义频率ko附近的频率成分的影响。从这个意义上说，傅里叶变换即使不能达到分解出全部分量的程度，也能把信号分隔成各个频率区域。这暗示了可以对信号进行的很多有趣的操作：对其进行傅里叶变换，对所得结果进行改造，然后从修改后的变换中重建出一个新的、经过变形的信号。
　　图9.7所示为如何对一个音频信号进行傅里叶分析、修改以及重建。第1步是把信号分成各个窗，即对信号分段，每个窗都有N个样点，通常还有一些交叠。然后每个窗通过乘以一个加窗函数（比如汉宁窗）被整形。接下来计算N个点的傅里叶变换，k=0，1，N-1。
　　（有时候需要计算更多个点的傅里叶变换，但在本书中，N个点已经够了）。
　　傅里叶分析给我们一个复数的二维阵列。令H为跃距尺寸（Hop Size），即每个窗比前一个窗前进的样点数。对每个m...，0，1.，第m个窗包含从样点mH开始的N个样点。第m个窗中的第n个样点为mH+n。因此，加窗傅里叶变换等于：
　　S【m，k】=FT{w（n）XIn-mH】}（k）