电子音乐技术 227

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　　9.3非周期信号的傅里叶分析221
　　T幅度
　　一N（k）
　　D（k）
　　【图9.5汉宁窗函数的傅里叶变换的模M（k）。它是狄利克雷核Dv（其中N=100）的3个（被平移并被放大的】复本的和
　　M（k）的主瓣有4个谐频那么宽，这是狄利克雷核的主瓣宽度的3倍。另一方面，各个旁瓣的模则要小得多。M（k）的每个旁瓣都是Dy（k）的3个旁瓣的和，一个被衰减1/2，其他2个则被衰减1/4且符号相反。这三者并不能完美对消，但其相互抵消的效果也已经相当不错了。
　　各个旁瓣在接近其中点处到达它们各自的最大幅度，在这里我们可以用如下近似对它们的幅度进行估计：
　　D、（k）=N sin（ak？
　　令k=3/2，5/2....就得到了各旁瓣相对于其峰值高度N的幅度：2*-13dB，2s-18dB，2s-21dB，2s-23dB.....
　　这些旁瓣衰落的速度逐渐趋缓，因此第10个旁瓣仅被衰减大约30dB，而第32个旁瓣被衰减大约40dB。另一方面，汉宁窗的旁瓣被衰减：
　　21221-32.30dB
　　5死 23元7元
　　并且接下来的4个旁瓣分别被衰减-42dB、-49dB、-54dB和-59dB。
　　这说明，在进行傅里叶变换前施加一个汉宁窗能让我们更好地隔离各个正弦分量。如果一个信号有很多正弦分量，由每个分量引起的各个旁瓣将会与所有其他分量产生的主瓣相互干扰。降低旁瓣的幅度就能降低这种干扰。
　　图9.6所示为具有2个正弦分量的信号进行汉宁加窗傅里叶分析的结果。2个分量之间的距离大约等于基频ao的5倍，并且对于每个分量我们都清晰地看出了汉宁窗的傅里叶变换的形状。与每个正弦对应的M（k）的主瓣中有傅里叶分析的4个点。各个独立正弦的幅度和相位都反映在这些（宽度为4个点的）谱峰上。一个谱峰里恰好落在整数值k上的4个点在相位上相继地相差半个周期。