电子音乐技术 226

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　　220第9章傅里叶分析与重合成
　　们应该做好准备，把傅里叶分析运用在那些不满足"被分析信号以一个固定的周期N重复"这一假设的信号上。当然，我们可以简单地提取出N个样点然后令其为周期的；我们在上一节其实就是这样做的，这样做使得一个纯正弦产生了如图9.3b所示的复杂的傅里叶变换。
　　不过，若能让一个纯正弦的响应更好地局限在相应的k值附近就更好了。我们可以使用图2.7（第32页）引入的包络技术来实现这一目标。在傅里叶分析中使用包络技术将不仅会改善我们的分析，也会让第2章的经过包络处理的循环采样器焕发新的光彩。
　　对于一个定义在从样点0到样点N-1的信号X【n】，不管它是不是周期信号，这种方法都会在进行傅里叶分析之前对信号进行包络处理。包络的形状被称为窗函数（Window Function）。令窗函数为w【n】，则加窗的傅里叶变换（Windowed Fourier Transform）为：
　　FT{w【n】X【n】}（k）
　　有关各种特定情况中合适的窗函数的设计方面的文献非常多，我们这里仅考虑最简单的情况，即所谓的汉宁（Hann）窗函数（在DSP圈中这个名字有时被用为"Hanning"）。汉宁窗的定义为：
　　w【n】=---cos（2mn/N）
　　让一个信号在傅里叶变换前乘以汉宁窗所产生的作用是很容易分析的，因为汉宁窗可以被写成3个复指数相加的形式：
　　w【n】=÷--0n--U-n
　　与以前一样，其中的U是模为1辐角为2x/N的一个复数。现在我们像以前一样计算一个角频率为a的正弦Z"的加窗傅里叶变换。所得的相位是凌乱的，我们将用经过简化的近似来替代这些相位项：
　　FT{uMnlZ"}（k）
　　-可号2n-wzy-Lu-1zol（t）
　　=【cos（p（k））+isin（co（k）】M|k-4其中（近似的）相位项为：
　　①（k）=-x·|k-&|
　　而模函数为：
　　M（k）=|-Du（k）+HDx（k+1）+-DN（k-1）模函数M（k）如图9.5所示。3个狄利克雷核分量被分别示出。