电子音乐技术 222

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　　216第9章傅里叶分析与重合成
　　【Nk=0
　　F可（X【a1（9=10k=1..，W-1不过，我们通常需要知道对于非整数的k的结果，为此，没有比根据公式直接计算更好的办法：
　　FT{X【a】}（k）=OX【O】+VlX【n】+...+vN-1X【N-1】
　　其中V与以前一样是模为1辐角为-ko的复数。这是一个几何级数，只要V1，就有：
　　yN-1
　　FTXInl}（k）=-
　　现在我们采用先前在章节7.3中使用的方法对分子分母进行对称化。为此，令：
　　5=cos（k/N）-isin（mk/N）
　　因此5子=V。然后再从分子分母中提出的适当幂次，得：
　　FT（XTa】（A）=5N-15到-5M E-E-1
　　现在对分子的化简就容易了：
　　5N-5-N=（coS（k）-isin（xk））-（cos（nk）+isin（nk））=-2isin（nk）
　　对分母也进行类似的化简后，得：
　　FT{状【n】（体）=（cos（k（N-1）/N）-isin（at（W-1）/w））sin（ce）
　　sin（nk/N）
　　不管V是否等于1，我们都有
　　FT{X【n】}（k）=（cos（nk（N-1）/N）-isin（nk（N-1）/N））DN（k）
　　其中Dy（k）被称为狄利克雷核（Dirichlet Kernel），其定义为k=0
　　D.（4）=1sin（nk）k=0，-N 　　图9.1所示为N=100时X【n】=1的傅里叶变换。这个变换每100个样点重复一次，一个峰值位于k=0，另一个峰值位于k=100，依此类推。这幅图把一个三维图形投影到纸面上，力求同时展现出幅度的行为和相位的行为。相位项cos（mk（N-1）/N）-isin（nk（N-1）/N）
　　令厂{K【n】}（k）的值绕着k轴螺旋扭转，周期大约为2。狄利克雷核DN（k）如图9.2所示，它控制着x{X【n】}（k）的幅度。它围绕k=0有一个宽度为2个单位的谱峰，两侧是多个宽度为一个单位的旁瓣（Sidelobe），各旁瓣的符号是正负交替的，幅度则从零点开始向两侧随着k的增大或减小而衰减。每次狄利克雷核的符号改变时，相位项就被旋转几乎π弧度，因此对于k>1，两者的乘积大致保持在复平面的同一个半平面中（对于k<-1则位于相反的半平面中）。在经过从k=-1到k=1的谱峰时，相位被旋转了几乎2x弧度。