电子音乐技术 221

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　　9.2傅里叶变换的性质215
　　9.1.2把傅里叶变换作为加性合成使用
　　现在考虑一个任意信号X【n】，它每N个样点就重复1次。（前面我们已经假设X【n】可由若干个正弦的和来获得，但我们还不知道是否每个周期性的X【n】都能用这种方法获得。）令Y【k】为X的傅里叶变换，即对于k=0...，N-1有：
　　Y【k】=FT{X【n】}（k）
　　=【U-*pX【O】+【U-*】1X】+...+IU-*】W-1X【N-】
　　=【U01*X【0】+【U-1I*X【】+...+IU-（N-h*XXN-1】
　　在第2个版本中，我们对指数进行了重新整理，可以看出Yk】是若干个复正弦的和，它们的复幅度为X【m】，频率为-mo，m=0...，V-1。换句话，可以把【k】本身看成是一个傅里叶级数，它的第m个分量的强度为X【-m】。（X【-m】这种表示是有意义的，因为X是一个周期信号）。我们也可以用YIk】本身的傅里叶变换来表示Y【k】的各分音的幅度。将两者用等号连接起来，得：
　　÷FT{Y【k】}（m）=X【-ml
　　这意味着现在轮到X【-m】可以由幅度分别为Y【k】/N的若干正弦求和而得到。令n=-m得：
　　X【n】=-FT（Ik】}（-n）
　　=【U0】"Y【0】+【U1】"Y】+...+IUN-1】r【N-1】
　　上式表明，任意周期信号x【n】确实可以由若干正弦求和得到。并且，该公式也明确指出了应该如何从X【n】的傅里叶变换Y【k】来重建x【n】，如果我们知道Y【】对于每个整数k=0...，N-1的取值的话。
　　9.2傅里叶变换的性质
　　在本节中，我们将研究对一个（复）正弦进行傅里叶变换时会发生什么。最简单的情况是"直流"，它是频率为0的一个特殊正弦。在推导出它的傅里叶变换以后，我们将阐述傅里叶变换的一些性质，这些性质可以运用到任意其他正弦上。
　　9.2.1直流信号的傅里叶变换
　　对所有n令X【n】=1（它能以任意所需的整数周期N>1重复）。从前面的讨论中，我们希望得到