电子音乐技术 220

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　　214第9章傅里叶分析与重合成
　　过对大量样点求平均来完成这一操作；但由于信号每N个样点就重复一次，因此对大量样点求平均与对最前面N个样点求平均是一样的。简而言之，为了测量出一个周期信号中的一个正弦分量，需要将该分量向下调制到直流处，然后在一个周期上进行平均。
　　令o=2x/N为周期N的基频，并令U是这个模为1辐角为o的复数U=cos（o）+isin（ao）
　　信号X【】的第k次分音的形式为：
　　A【n】=d.【U*"
　　其中A为该分音的复幅度，该分音的频率为：
　　<（U*）=k∠（U）=ko
　　我们暂时假设信号X【n】确实可以被写成n个分音的和的形式，换句话说：
　　X【n】=A4【U0】"+A4【U1】"+...+AvtUN-p根据前文中关于外差滤波的讨论，我们期望能测出每个Ak，方法是乘以频率为-ko的正弦并在一个周期上进行平均：
　　A4=1-（【U-*x【0】+【U-*】X】+...+【U-*jW-1X【N-1】）
　　这个公式非常有用，以至于它有属于自己的表示符号。一个信号X【n】在N个样点上的傅里叶变换（Fourier Transform）被定义为：
　　FT{X【n】（k）}=V0X【0】+lX】+...+vW-1X【N-1】
　　其中V=U-*。傅里叶变换是变量k的一个函数，它等于输入的第k次分音的幅度的N倍。
　　目前为止k都是取的整数值，但这个公式可以对于任意的k值都有意义，只要将V更一般地定义为：
　　V=cos（-kao）+isin（-ko）
　　与先前一样，其中的o=2m/N是与周期N相关联的基频（角频率。
　　9.1.1傅里叶变换的周期性
　　如上文一样，若X【n】是一个每N个样点就重复一次的信号，则X【n】的傅里叶变换也会每N个频率单位就重复一次，即对于任意实值的k，有：FT{XIn】}（k+N）=FT{XIn】}（k）
　　这是直接从傅里叶变换的定义得出的，因为在把N（或是N的任意倍数）加到k上时，因子
　　V=cos（-ko）+isin（-kao）
　　是保持不变的。