电子音乐技术 219

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　　第9章
　　傅里叶分析与重合成
　　在第8章讨论的滤波器的众多应用中，我们看到了如何使用外差法以及一个低通滤波器来找到信号中一个正弦分量的幅度和相位（第207页）。在本章中，我们将把这种技术提炼成所谓的傅里叶分析（Fourier Analysis）。在傅里叶分析的最简单形式中，输入信号被当成是任意的周期信号（周期为N），输出为它的N个可能正弦分量的复值幅度。理论上，这N个复值幅度可以精确地重建出原始信号。这种重建被称为傅里叶重合成（Fourier Resynthesis）。
　　在本章中，我们将先阐述周期性的采样信号的傅里叶分析与重合成的理论。然后将展示如何把同样的技术运用到任意信号上，不管它是周期的还是非周期的。最后，我们将阐述一些标准的应用，比如相位声码器。
　　9.1周期信号的傅里叶分析
　　假设X【a】是一个复值信号，它每N个样点重复一次。（为了简化数学运算，我们继续使用复值信号而非实值信号。）由于周期为N，因此n=0，1...，N-1处的X【】值就决定了X【n】
　　对所有整数n的取值。
　　进一步假设X【n】可以被写成频率为0，2x/N，4m/N.，2（N-1）x/N的复正弦的和。它们是周期为N的一个信号从0频率开始的各个分音。我们在第N项停下来是因为下一项的频率将为2m，它等价于频率0，这一项已经在列表中存在了。
　　给定x的值，我们希望找到这些分音的复幅度。假设我们想求第k个分音，其中0≤k