电子音乐技术 201

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　　8.3设计滤波器195
　　滤波器一开始是一个低通滤波器，然后变成一个斜坡滤波器，最后成为一个高通滤波器。
　　个斜坡2
　　高通
　　斜坡1
　　|低通
　　（b）
　　8.18 有3个极点和3个零点的巴特沃思低通滤波器：（a）零极点图。极点是根据截止频率A=元/4选择的；（b）4种滤波器的频率响应，它们的极点配置完全相同，零点的位置则不同（但保持极点固定】。为零点设置B=元得到低通滤波器；两个斜坡滤波器相当于A=3元/10和A=2元/10，最后的高通滤波器是通过设置A=0获得的。高通滤波器在奈奎斯特频率处被归一化到单位增益，其他几个滤波器则在直流分量处被归一化到单位增益8.3.7使用有理函数拉伸单位圆
　　在8.3.4小节中，我们看到可以用一种简单的方法将一个低通滤波器转变成一个带通滤波器。运用同样的方法把我们的巴特沃思低通滤波器转变成一个更高质量的带通滤波器，这种想法是很诱人的；但如果我们希望保持巴特沃思滤波器的高品质，则需要在设计所用变换时比以前更加仔细。在本节中，我们将引入一类复平面上的有理函数，它们能保持单位圆，这将为构造巴特沃思带通滤波器做好准备。
　　这里的讨论是根据【PB87】，pp.201-206的内容改写的（感谢朱利叶斯·史密斯的这个建议）。在【PB87】的讨论中，变换是在连续时间上进行的，但为了保证我们讨论的独立完整，我们在这里将改造这种方法，让其在离散时间上进行处理。
　　这种思想是从任意一个具有如前面所示转移函数的滤波器出发：
　　uu0 1-gz）...1-9z）
　　（1-Az-1）...（1-P-Z1）
　　它的频率响应（位于频率o处的增益）由下式给出：
　　1H（cos（o）+isin（o））l
　　现在假设我们找到了一个有理函数R（Z），它以某种可取的方式对单位圆进行扭曲。对于R来说，成为有理函数意味着它可以写成2个多项式的商式（例如转移函数H就是一个有理函数）。"R把单位圆上的点变换到单位圆上的另外一些点"仅仅是这样一个条件：只要Z=1，就有IR（Z）=1。容易验证，形如