电子音乐技术 150

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　　7.1复数143
　　Z=r-【cos（e）+isin（9）】
　　直角坐标形式和极坐标形式是可以互换的；用上述等式可以从r和e计算出a和b，反之亦可。
　　我们在电子音乐中使用复数的主要原因是因为它们能魔术般地自动进行三角运算。为了讨论音频信号随时间流逝（或如本章中所见的在时间上平移）而不断变化的相位，我们经常需要把多个角度加在一起。如果把两个复数乘起来，乘积的辐角就是两个因子的辐角和。为了说明这一切是如何进行的，我们把两个用极坐标形式表示的数Z和Z2
　　Z1=n·【cos（6）+isin（8）】Z2=2·【cos（2）+isin（2）】
　　乘在一起，得：
　　Z1Z2=i/2·【cos（A）cos（2）-sin（6）sin（2）++
　　i（sin（C）cos（2）+cos（8）sin（2））】
　　这里sin（e，）sin（，）项前的负号是由i自乘产生的，即i*i=-1。我们可以在上式中看出余弦和正弦的两角和公式，因此可以将上式化简为：
　　Z1Z2=/i'2【cos（6+2）+isin（8+6）】
　　通过观察可知：乘积Z1Z2的模为i2，辐角为a+a。
　　我们可以使用复数的这一性质对角度进行加法和减法（通过对具有合适辐角的复数进行乘法和除法），然后通过提取实部和虚部来获得结果中的正弦和余弦。
　　复正弦
　　回忆第1页的（实值）正弦公式：
　　x【n】=acos（on+p）
　　它是一系列余弦，它们的角度（被称为相位）是随样点序号n算术增长的。这些余弦都被因子a调整。我们现在将其重写为一系列操作起来更简单容易的复数的实部，这需要使用复数的辐角和模的性质。
　　假设一个复数Z的模恰好为1，辐角为o，因此可以将其写为：
　　Z=cos（a）+isin（ao）
　　对于任意整数n，复数Z"的模也一定是1（因为模是相乘的），而辐角是no（因为辐角是相加的）。因此
　　Z"=cos（no）+isin（no）
　　对于负值的n这也是成立的，因此比如：