电子音乐技术 114

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　　5.3波形整形107
　　x【n】=cos（on）
　　x2【n】=-+-cos（2on）
　　x2【n】=-cos（-an）+-cos（on）+-cos（3on）
　　x4【n】=-cos（-2on）+-cos（0）+2-cos（2on）+-cos（4aon）
　　x3【n】=--cos（-3on）+-cos（-on）+-cos（on）+-cos（3on）+-cos（5on）
　　依此类推。可以看出，各个分数中的分子构成了帕斯卡三角形。概率的中心极限定理意味着每个第k行都可以用一条高斯曲线来近似，该曲线的标准差（对宽度的一种测量）正比于k的平方根。
　　负频率项（为了清晰起见，在这里它们被单独列了出来）将与正频率项合并在一起；频谱包络将以与图5.4所示环形调制例子一样的方法进行自我反褶。
　　只要系数，都是整数或0，那么这些展开式中所有正弦的所有幅度都将是非负的。此时，随着a的变化，所有的相位仍将保持是相干的，因此，随着a值的不断增大，我们可以获得一个展宽的频谱（而且幅度还可能剧烈增长）。另一方面，如果某些f，是正的，而另一些是负的，那么不同的展开式将彼此产生破坏性的干涉；这将产生一个听上去更为复杂的频谱演化。
　　还要注意，相邻的展开式都是仅包含奇次分音或仅包含偶次分音。如果转移函数（写成幂函数形式）恰好仅包含偶次幂项：
　　f（x）=f6+f6x2+fhx4+...
　　那么结果里也仅包含偶次分音，其声音听上去将比输入的正弦高一个八度。如果f（x）的展开式中仅包含奇次幂项，那么输出将仅包含奇次分音。即使f不能确切地表示成幂级数展开的形式（比如图5.3中的限幅函数），如果f是偶函数的话，上述结论仍然成立，即如果
　　f（-x）=f（x）
　　则只能得到偶次谐波，而如果f是一个奇函数，即f（-x）=-f（x）
　　则只能得到奇次谐波。
　　在使用波形整形产生指定频谱方面，已经提出了很多可以使用的数学技巧的。通过使用切比雪夫多项式作为转移函数，可以在基频的任何谐频上生成纯正弦【Leb79】【0J85】，由此出发就能继而构建任何所需的静态频谱（示例E05.chebychev.pd演示了这一点）。通过对一个幅度可变的正弦波进行波形整形可以生成多族（Families）频谱，这是更需要技