电子音乐技术 18

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　　10第1章正弦、幅度与频率
　　x【n+rl=xn】
　　则称该信号以周期x进行重复。这样的信号也会以2x为周期进行重复，依此类推；因此，信号重复时所遵循的最小的r被称为信号的周期（Period）。在讨论数字音频信号的周期时我们很快就会遇到"周期"不是整数的信号，这会给描述带来困难，此时上式将不再有意义。在这里，我们假设信号x【n】可以在样点之间进行内插，因此不管n是否为整数，该信号都能得到定义。通过这种假设，我们实际上将忽略由非整数周期所带来的这种描述上的困难。
　　角频率为a的正弦波，其周期为2m/o（以样点为单位）。更一般地，频率为2mk/o（k为整数）的多个正弦波的任意累加和将以2元/o个样点为周期进行重复。这样的一个累加和被称为一个傅里叶级数（Fourier Series）：
　　x【n】=a0+a cos（on+A）+a2 cos（2on+a）+...+apcos（pan+pp）
　　而且，如果我们进行一些技巧性的假设（事实上就是让信号只包含某一界限之下的频率成分），那么我们可以把任意的周期信号表示成这样一种累加和的形式。这就是离散时间形式的傅里叶分析，在第9章中还会对此进行讨论。
　　上述正弦波的角频率均为o的整数倍。它们被称为o的谐波（Harmonics），o则被称为基波（Fundamental）。就音高来讲，o、20等各次谐波与基波之间的音程间隔分别为基音以上0，1200，1902，2400，2786，3102，3369，3600....个音分；这个音高序列有时候被称为泛音列（Harmonic Series）。该序列中的前6个音高几乎都是100的整数倍；换句话说，西方音阶中的前6个泛音的音高所处的位置与该音阶中的其他一些音高非常接近（但不总是完全一致）；
　　第三泛音、第六泛音仅差了2个音分，第五泛音也只差了14个音分。
　　换句话说，3：2的频率比（即西方音阶术语中的纯五度）几乎就是7个半音，4：3（纯四度）则与5个半音接近，而54和6：5（完美的大三度和小三度）则分别与4个和3个半音相图1.8所示为一个傅里叶级数（只有3项）。前3个图为3个正弦，其频率比为1：2：3。
　　横轴上标出了它们的公共周期。每个正弦都有各自的幅度和初相位。最下方的图给出了3个正弦的累加和，它并不是一个正弦波，但它仍旧保持了3个正弦成分所共享的周期性。
　　若不考虑相位问题，我们可以使用一组正弦振荡器来合成周期性的乐音，甚至是在相继的周期性乐音之间实现平滑的渐变，这只需指明基波频率以及各个分音的幅度（可能是时变的）即可，图1.9所示为这一过程的框图。
　　这是加性合成（Additive Synthesis）的一个例子；更一般地，这个术语可以用来指那些由频率可单独控制的多个振荡器所组成的网络。计算机音乐在早期尽是这些由加性合成产生的声音。