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第17章数字信号处理687
174单位圆与收敛域
离散信号的傅里叶变换与z平面单位圆上的z变换对应。等式定
平面上
的单位圆。沿着单位圆进行z变换的计算就能得到该函数的频率响应变量z是复值的，X（2）是这个复变量的函数。复平面
）的模为有限值的这组z被
称为位于收敛域内。复平面上令X（2）的模为无限值的这组z被称为是发散的，是位于收敛域外的。函数
整个z平面上定义的，但仅在收敛域内是有效的。复变量5用于描述复频率，这是拉普拉斯变换的一个函数。5变量落在复5平面上。5平面可以映射到z平面，平面中的垂直线被映射为z平面中的圆。
因为采样点的数量是有限值，所以实际中的系统必须被设计成位于收敛域内。对于所有有限长度的稳定序列来说，单位圆是z平面中位于收敛域内的最小区域。为了获得正确的稳定性各个极点必须被放置在z平面的单位圆内。各极点不正确的摆放位置将构成一种不稳定从5平面到z平面的映射是一个重要的过程。理论上，这个函数允许设计者选择一个模拟转移函数，并找到该函数的z变换。不幸的是，5平面一般不能映射到z平面的单位圆内。比如，稳的模拟滤波器并非总能映射成稳定的数字滤波器。这可以通过乘以一个变换常数来避免，用让模拟频率响应与数字频率响应相匹配。在模拟与数字截止频率之间也有一种非线性的关系是必须要考虑的。这些非线性被称为翘曲效应，而这个常数的使用被称为对转移函数进行预翘曲通常，数字实现可以从现有的模拟表达形式推导得出。例如稳定的模拟滤波器可以用
系统函数Hs描述。它的频率响应可以通过计算H在5平面虚轴各点上的值而得到。在函数H5中以被一个有理函数z替换，该函数能把5平面的虚轴映射到z平面的单位圆上。所得的系统函数H（z）可以沿单位圆进行计算，并且它与H沿虚轴进行计算所得到的数值是一样的74.1极点与零点
总起来说
线性时不变离散时间滤波器的转移函数H（z）被定义为冲激响应hm）的z变换。一个函数的频谱等于在单位圆上计算z变换。数字滤波器的转移函数可以写成其z变换的形式；这就可以对该滤波器的各个极点和零点进行分析。各是表示滤波器转移函
数的多项式的分子的各个根，极点则是该多项式的分母的各个根。从数学上说，各个零H（z）=0，而各个极
H（a变得不可解析。把H（2）的模当作z的一个函数绘出图像时，各极点将出现在z平面之上的某一距离处，而各个零点则会触及z平面。可以想象一下这个面，在其上方有一条可以变形的轮廓线（即转移函数的模），这条轮廓线穿过了各个极点零点，它的各波峰以各个极点为顶端，而各波谷则以各零点为中心。沿着单位圆画出这条
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